1. 서 론
2. 암반절삭 공구의 마모시험 방법
3. 연속적인 등속도 아르키메데스 나선 생성
3.1 등속도 아르키메데스 나선 계산
3.2 등속도 아르키메데스 나선 연속생성 방법
4. 등속도 나선 경로 계산 프로그램
5. 결 론
1. 서 론
암반절삭 공구(rock cutting tool)의 마모성능을 평가하는 가장 좋은 방법은 현장 시험을 통하여 직접 측정하여 기록하는 것이다(Farrokh and Kim, 2018). 하지만 현장 측정의 어려움으로 인해 주로 실내시험(Cerchar 마모시험, AVS시험 등)을 통한 간접 측정 방법들이 사용되고 있다(Alber et al., 2013, ASTM, 2010, Nilsen, 2006). 마모성능 측정법은 금속재료 시험법에서도 제안되어 있으며, 이를 암반절삭 공구의 마모성능 측정에도 활용할 수 있다. 이전 문헌(Kang et al. 2020)에서 ASTM의 금속재료 마모 시험법 중 하나인 Pin-on-disk 시험법을 등속도 나선에 적용할 때 외향형 나선과 내향형 나선의 근사해를 조사하였는데, 이러한 근사해를 실제 마모시험에 바로 적용하기에는 두 가지 어려움 있다.
첫 번째 어려움은 원점(나선의 회전 중심)에 아주 인접한 부분에서 속도가 불안정한 것이다. 이는 이전 문헌(Kang et al. 2020)에서 언급했듯이, 원점에서 일정 거리 오프셋(offset)을 설정하여 해결할 수 있다. 즉, 암석 시편을 중공 타입(hollow-type)의 원통 형상으로 제작하여 해결 가능하며, 이 경우에는 등속도 나선 경로의 근사계산에 오프셋을 추가로 반영해야 한다. 두 번째 어려움은 등속도 아르키메데스 나선의 연속생성이다. 중공형 단면을 가지는 암석 시편을 사용하면 내향성(inward) 나선이 원점에서 오프셋 된 위치에서 종료되므로 이 부분에서 다시 외향성(outward) 나선이 시작되어야 하고 이러한 경로가 연속적으로 생성되어야 한다. 즉, 직전의 등속도 나선 종료 위치가 다음 나선의 시작점이 되도록 고려해야 한다.
요약하면, Pin-on-disk 방법 적용 시 등속도 아르키메데스 나선 조건을 만족시키기 위해서는 중공 형태의 암석 시편을 사용하여 원점 부근에서 오프셋을 주어야 하고, 이러한 오프셋을 근사계산에 반영하여 내향성 나선과 외향성 나선이 연속되도록 해야 한다. 더불어, 연구자가 시편의 형상과 마모시험 조건의 변화에 따라 등속도 나선 경로를 편리하게 계산하고 검증하기 위해서는 이러한 작업이 프로그램에서 자동으로 계산되어야 한다. 따라서 본 기술보고에서는 중공 형상의 암석 시편에 적합한 등속도 아르키메데스 나선 계산 방법을 설명하고, 연구자가 쉽게 활용할 수 있도록 만든 계산 프로그램을 소개한다.
2. 암반절삭 공구의 마모시험 방법
본 기술보고에서 설명하는 암반절삭 공구의 마모시험 방법은 Pin-on-disk 방법(ASTM, 2016)으로, 마모성능과 절삭성능 시험에 모두 활용될 수 있는 방법이다. 마모시험에서 중공 원통 암석 시편이 원통 중심축을 기준으로 회전하는 동시에 암반절삭 공구가 시편의 반경 방향으로 이동하기 때문에 시편과 공구 사이의 상대적인 움직임이 등속도 나선 경로가 된다. 이때, 시편의 회전속도(RPM)와 암반절삭 공구의 반경 방향 이동 속도는 일정하게 유지되는 것이 아니라 비선형적으로 바뀌어야 마모시험 내내 등속도 조건을 유지할 수 있다. 본 기술보고에서는 마모시험에서 암반절삭 공구가 시편의 바깥쪽(외경의 한 지점)에서 출발한다고 가정하고, 내향성 나선과 외향성 나선이 차례대로 반복될 때 연속적으로 생성되는 등속도 나선 경로를 계산하였다. 또한, Fig. 1과 같이 암반절삭 공구의 시작 지점을 +X축의 한 지점(R,0)으로 하고, 내향성 혹은 외향성 나선이 끝날 때마다 중공 원통 암석 시편이 균일하게 제거되어 시편의 굴곡(groove) 없이 시편 높이가 점차 감소한다고 가정하였다. 즉, 나선 경로 계산에서는 암석 시편과 암반절삭 공구의 평면상의 상대적인 움직임만 고려하였다.
3. 연속적인 등속도 아르키메데스 나선 생성
3.1 등속도 아르키메데스 나선 계산
등속도 나선은 앞서 주사형 투과 현미경(STEM), 원자력 현미경(AFM) 분야에서 스캐닝 품질 향상을 위해 연구되었으며(Mahmood and Moheimani, 2010, Ziegler et al., 2016, Sang et al., 2017), 이를 바탕으로 중공 원통 암석 시편의 내향형, 외향형 등속도 아르키메데스 나선을 계산하는 방법은 다음과 같다.
| $$r=Rf(t_\ast)$$ | (1) |
| $$\theta=2\pi Nf(t_\ast)$$ | (2) |
| $$t_0=\left(\frac{R_0}R\right)^2T$$ | (3) |
| $$N=\frac{(R-R_0)}s$$ | (4) |
| $$T=\frac{\pi NR}{v_s}$$ | (5) |
기본적으로 나선의 반경(r)과 회전각도(θ)는 식 (1), (2)와 같이 표현되고, 여기서 f(t*)는 내향형 나선의 경우 f(t*)=로 근사 되고, 외향형 나선의 경우 f(t*)=로 근사 된다(Kang et al. 2020). 또한, t*는 시간을 표현하는 무차원 수로, t* = t/T로 계산된다. 더불어, N은 총 나선 수를 의미한다. 중공 원통 암석 시편의 외경(outer diameter)이 R이고, 내경(inner diameter)이 R0일 때(Fig. 2), 원점에서 R0까지 나선이 이동하는 시간 (또는 R0에서 원점으로 나선이 이동하는 시간)을 t0, 전체 나선 경로 이동 시간을 T로 각각 표현할 수 있다. 이때, t0는 식 (3)과 같이 계산할 수 있다. 앞서 제시된 근사 계산방법(Kang et al. 2020)에서 내향형 나선의 경우 시간을 t = 0 ~ (T-t0)로 두고 계산하면 Fig. 1과 같이 중공 단면을 반영한 나선 계산이 가능하며, 외향형 나선의 경우에도 t = t0 ~ T로 계산하면 중공 단면을 반영한 나선 계산이 가능하다. 이처럼 단지 시간 범위만을 조절함으로써 중공 단면 위를 움직이는 나선 경로를 손쉽게 계산할 수 있으며, 이 경우에 나선 경로를 생성하기 위한 변수는 R, R0, T, N 4개가 된다. 하지만 실제 마모시험에서는 총 나선 수(N)와 전체 나선 경로 이동 시간(T)을 변수로 두는 것보다 나선 간의 간격(s)과 이동 속도(vs)를 변수로 두는 것이 시험을 설계하는 데 더 편리하다. 따라서 본 기술보고에서는 식 (4), (5)를 사용하여 변수를 R, R0, s, vs로 변경하여 나선 경로 계산을 수행하였다. 지금까지의 설명을 바탕으로 중공 원통 암석 시편의 내향형, 외향형 등속도 나선 계산을 요약하면 Table 1과 같다.
Table 1.
Calculation of inward and outward spiral paths with constant linear velocity
3.2 등속도 아르키메데스 나선 연속생성 방법
중공 단면 위를 지나는 등속도 아르키메데스 나선 경로를 계산하기 위해서는 내경(R0)을 시간 범위로 표현하여 계산에 반영해야 한다. 다음으로, 이렇게 계산된 내향형 나선과 외향형 나선이 이어지도록 연속적으로 생성하여 지속해서 암석 시편과 공구가 마찰하도록 해야 한다. 이를 위해서는 직전의 등속도 나선 종료 지점이 다음 나선의 시작점이 되도록 계산에 반영해야 한다. Fig. 3과 같이 외경 위의 한 점에서부터 시작된 내향형 나선(빨간색 선)이 내경 위의 한 점에서 종료되고, 이 점에서 외향형 나선(파란색 선)이 시작되어 외경에서 종료된다. 이렇게 내향형 나선과 외향형 나선이 서로 연결되어 반복적으로 나타나야만 지속적인 마모시험이 가능하다.
내향형 나선과 외향형 나선이 서로 연결되도록 표현하기 위해서는 각각의 나선의 시작과 종료 지점과 각도를 다음 나선 계산에 차례로 반영해야 하며, 이러한 방법을 Maple 코드(code)와 플로우 차트(flow chart)로 표현하면 Fig. 4, Fig. 5와 같다. 코드와 플로우 차트에서 ‘i_inw(θinw)’와 ‘i_outw(θoutw)’는 각각 내향형과 외향형 나선의 수를 의미한다. 만약, 내향형 나선 수와 외향형 나선 수가 같다면 이는 현재 외향형 나선이 종료된 상태를 의미하고, 내향형 나선 수가 외향형 나선 수보다 많다면 이는 현재 내향형 나선이 종료된 상태임을 의미한다. 그러므로 내향형 나선 수와 외향형 나선 수가 같다면, Fig. 3과 같이 외향형 나선이 종료된 상태이고 이후에 내향형 나선이 잇따라 생성되어야 하므로 외향형 나선이 종료된 각도(Fig. 4의 4번째 줄에서 ‘theta_end_outw’)를 내향형 나선의 계산에 더해줘야 한다. 반대로 내향형 나선 수가 외향형 나선 수보다 많다면 현재 내향형 나선이 종료된 상태이므로, 외향형 나선이 잇따라 생성되기 위해서는 내형향 나선이 종료된 각도(Fig. 4의 7번째 줄에서 ‘theta_end_inw’)를 외향형 나선의 계산에 반영해야 한다. 코드에서 외향형 나선 각도 계산(Fig. 4의 7번째 줄)에서 각도 계산 앞에 ‘-’ 부호가 붙은 이유는 나선이 처음에 정의된 방향과 반대 방향으로 회전하기 때문이다. 또한, 코드의 7번째 줄에서 ‘theta_0’는 초기 시작 각도를 의미하며, 앞서 나선의 시작점이 +X축 위에서 시작한다고 가정하였으므로 각도 값은 ‘0’이 된다. 더불어, 내향형 나선과 외향형 나선이 연결되는 부분에서 각도 차이(즉 접선의 기울기)가 너무 크게 되면 선행과 후행 나선이 서로 불연속적으로 연결될 수 있으므로 주의해야 한다.
4. 등속도 나선 경로 계산 프로그램
지금까지 설명한 계산 방법을 사용자가 편리하게 활용할 수 있도록 프로그램으로 만들었으며, 이는 Fig. 6과 같다. 프로그램은 Maple (Maplesoft, 2019)로 제작되었고, 각각의 버튼에 계산을 위한 코드가 포함되어 있다. 프로그램은 등속도 나선 생성을 위한 변수를 입력하고 나선을 생성/삭제하는 ‘Input Parameters’, 계산 결과를 표시하는 ‘Output Results’, 그리고 아래쪽의 그래프를 디스플레이 하는 부분으로 구성되어 있다. 사용자가 왼쪽 상단의 ‘Input Parameters’ 부분에서 4개의 변수 값 (R, R0, s, vs)을 입력하고, ‘Initial Spiral’ 버튼을 누르면 +X축의 한 지점(R,0)에서 시작하는 내향형 나선과 외향형 나선이 아래 그래프에 생성된다. 또한, 동시에 시간에 따른 위치, 각도 그리고 속도 그래프로 생성된다. 이후에 ‘Add Spiral’ 버튼을 누르면 직전 나선의 종료 지점에 이어서 나선이 추가로 생성되며 직전 나선은 자동으로 삭제된다. Fig. 7은 프로그램을 사용하여 연속으로 등속도 나선을 생성한 결과를 보여준다(R0 = 40 mm, R = 200 mm, s = 20 mm, v = 10 mm/s 조건). 그래프에서 알 수 있듯이 연속으로 생성된 나선에서 현재 나선의 종료 지점이 다음 나선의 시작 지점이 되어 나선 경로가 지속해서 이어지게 된다.
프로그램 오른쪽 상단의 ‘Output Results’에서는 현재 생성된 나선 수(N), 총 시간(T), 내향형 나선과 외향형 나선의 종료 각도 등의 계산 결과가 표시된다. 이러한 정보들을 활용하여 사용자는 계산된 나선 경로에서 암반절삭 공구의 마모시험이 제대로 이루어질 것인지를 사전에 정량적으로 평가해 볼 수 있다. 또한, 마모시험 동안 암반절삭 공구와 암석 시편 사이에 상대속도가 일정하게 유지되는지 확인할 수 있다.
5. 결 론
본 기술보고에서는 암반절삭 공구의 마모시험을 방법 중 pin-on-disk 방법을 사용하고, 암석 시편으로 중공 원통 암석 시편을 사용하는 경우의 연속적인 등속도 나선 경로 계산 방법에 관해 설명하였다. 암반절삭 공구가 중공 암석 시편의 바깥쪽에서 출발하고, 내향성 나선과 외향성 나선이 차례대로 반복될 때 연속적으로 생성되는 등속도 나선 경로를 계산하였다. 내향형 나선과 외향형 나선이 서로 연결되도록 표현하기 위해서 각각의 나선의 시작과 종료 지점과 각도를 다음 나선 계산에 차례로 반영하였다. 더불어, 연구자가 시편의 형상과 마모시험 조건의 변화에 따라 등속도 나선 경로를 편리하게 계산하는 데 도움을 주고자 나선경로 계산 프로그램을 개발하였다. 등속도 나선 계산방법과 개발된 프로그램은 암반절삭 공구의 마모시험을 사전에 검증하는데 사용할 수 있으며, 시험기의 시편 회전속도(RPM)와 암반절삭 공구의 반경 방향 이동 속도 제어를 위한 기초 데이터를 획득하는 데에도 사용 가능하다. 또한, 암반절삭 공구의 마모시험 이외에도 등속도 나선을 적용하는 다른 응용 분야에도 활용될 수 있다.
